【題目】已知函數
.
（Ⅰ）談論函數的單調性；
（Ⅱ）若函數
在區間
內任取有兩個不相等的實數
，
，不等式
恒成立，求
的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）當
時,函數
在
上單調遞增；當
時，函數在
上單調遞減，在
上單調遞增；（Ⅱ）
.
【解析】
試題分析：（1）函數的定義域為
，
，然后再對
進行分類討論，分和兩種情況，結合函數的單調性性質，即可求出結果；（2）令
，則
.已知
，則
.
由
.設函數
，則函數是在
上的增函數，又
，則原問題轉化為：只要上
恒成立，然后再根據二次函數的性質求出函數
的最小值，即可求出結果.
試題解析：
（1）函數的定義域為 ， ，
①當時，
，在
上恒成立，所以 在上單調遞增.
②當時，方程
有一正根一負根，在上的根為
，所以函數 在
上單調遞減，在
上單調遞增.
綜上，當時， 在上單調遞增；
當時，函數 在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）不妨令 ，則 .
已知，則.
由
.
設函數 ，則函數是在 上的增函數，
所以
，
又函數是在 上的增函數，只要上恒成立，
在上
，所以 .
優等生題庫系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某人種植一種經濟作物，根據以往的年產量數據，得到年產量頻率分布直方圖如圖所示，以各區間中點值作為該區間的年產量，得到平均年產量為455
，已知當年產量低于350
時，單位售價為20元/
，若當年產量不低于350
而低于550時，單位售價為15元/
，當年產量不低于550
時，單位售價為10元/
.
（1）求圖中
的值；
（2）試估計年銷售額大于5000元小于6000元的概率？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以橢圓
的四個頂點為頂點的四邊形的四條邊與
共有
個交點，且這個交點恰好把圓周六等分.
（1）求橢圓
的方程；
（2）若直線
與
相切，且橢圓相交于
兩點，求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
R，函數
=
.
（1）當
時，解不等式>1；
（2）若關于
的方程+
=0的解集中恰有一個元素，求
的值；
（3）設
>0，若對任意
，函數在區間
上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】食品添加劑會引起血脂增高、血壓增高、血糖增高等疾病，為了解三高疾病是否與性別有關，醫院隨機對入院的60人進行了問卷調查，得到了如下的列聯表：
（1）請將列聯表補充完整；若用分層抽樣的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女性抽幾人？
患三高疾病 | 不患三高疾病 | 合計 | |
男 | 6 | 30 | |
女 | |||
合計 | 36 |
（2）為了研究三高疾病是否與性別有關，請計算出統計量
，并說明你有多大把握認為患三高疾病與性別有關.
下列的臨界值表供參考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（參考公式：
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】平面直角坐標系xOy中，已知F1、F2分別是橢圓C：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，且右焦點F2的坐標為（
，0），點（
，
）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）在橢圓C上任取一點P，點Q在PO的延長線上，且
=2．
（1）當點P在橢圓C上運動時，求點Q形成的軌跡E的方程；
（2）若過點P的直線l：y=x+m交（1）中的曲線E于A，B兩點，求△ABQ面積的最大值．
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