Question

【題目】已知函數，.

（1）求過點且與曲線相切的直線方程；

（2）設，其中為非零實數，若有兩個極值點，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）設切點為，對函數求導，可得到切線斜率，再結合，二者聯立可求出切點坐標，及的值，進而可求得切線方程；

（2）對函數求導，分，和三種情況，分別討論函數的單調性，可知當時，有兩個極值點，從而可得到，再結合，，從而要證，只需證明即可，構造函數，利用導函數證明，即可證明結論成立.

（1）由，可得，

設切點為，則切線斜率為，，

故，解得，故，

所以切線方程為，即.

（2），，

則，

①當，即時，，函數在上單調遞增，無極值點，不符合題意；

②當時，令，則，解得不成立，舍去，成立，此時在上單調遞減，在上單調遞增，只有一個極值點，不符合題意；

③當時，令，則，解得成立，成立，此時函數有兩個極值點，且，，

易知，故，

又，故，

所以要證，即證，

由，可知，

故只需證明即可，

構造函數，則，故函數在上單調遞增，

∴，即成立，

所以.