【題目】已知函數
.
（1）討論
的單調性；
（2）設
，若
且
有兩個零點，求
的取值范圍.
【答案】（1）當
時，
在
上是增函數；當
時，在
，
上是增函數，在
上是減函數.（2）
【解析】
（1）求定義域以及導數，對參數進行分類討論，求解對應情況下的單調性即可；
（2）由（1）中所得，可知
的解析式，根據
的單調性，將零點問題轉化為圖像相交的問題，數形結合，求解參數范圍.
（1）的定義域為，
，
，
對于
，
，
當
時，
，
則在上是增函數.
當
時，
對于
，有
，則在上是增函數.
當時，
令，得
或
，
令
，得
，
所以在，上是增函數，
在上是減函數.
綜上，當時，在上是增函數；
當時，在，上是增函數，
在上是減函數.
（2）由已知可得
，
因為，所以
，而
，所以
，
所以
，所以
在
上單調遞增.
所以
.
故有兩個零點，等價于
=
在內有兩個零點.
等價于
有兩根，
顯然
不是方程的根，
因此原方程可化為
，
設
，
，
由
解得
，或
由
解得
，
故在
上單調遞減，在
上單調遞增.
其圖像如下所示：
所以
，
所以
，
所以.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】手機等數碼產品中的存儲器核心部件是閃存芯片，閃存芯片有兩個獨立的性能指標：數據傳輸速度和使用壽命，數據傳輸速度的單位是
，使用壽命指的是完全擦寫的次數（單位：萬次）.某閃存芯片制造廠為了解產品情況，從一批閃存芯片中隨機抽取了100件作為樣本進行性能測試，測試數據經過整理得到如下的頻率分布直方圖（每個分組區間均為左閉右開），其中
，
，
成等差數列且
.
（1）估計樣本中閃存芯片的數據傳輸速度的中位數.
（2）估計樣本中閃存芯片的使用壽命的平均數.（每組數據以中間值為代表）
（3）規定數據傳輸速度不低于
為優，使用壽命不低于10萬次為優，且兩項指標均為優的閃存芯片為
級產品，僅有一項為優的為
級產品，沒有優的為
級產品.現已知樣本中有45件級產品，用樣本中不同級別產品的頻率代替每件產品為相應級別的概率，從這一批產品中任意抽取4件，求其中至少有2件級產品的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的焦距為2，過點
.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）設橢圓的右焦點為
，定點
，過點且斜率不為零的直線
與橢圓交于
，
兩點，以線段
為直徑的圓與直線
的另一個交點為
，試探究在
軸上是否存在一定點
，使直線
恒過該定點，若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，
為橢圓
的左、右頂點，
為其右焦點，
是橢圓上異于
，
的動點，且
面積的最大值為
.
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）直線
與橢圓在點處的切線交于點
，當點在橢圓上運動時，求證：以
為直徑的圓與直線
恒相切.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的坐標方程為
，曲線
的參數方程為
（
為參數，
）.
（1）求直線的直角坐標方程及曲線的普通方程；
（2）直線和曲線相交于點
，
，設相交弦的長度為
，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線
在平面直角坐標系
下的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，以
軸正半軸為極軸，建立極坐標系．
（1）求曲線
的普通方程及極坐標方程；
（2）直線
的極坐標方程是
，射線
： 
與曲線
交于點
與直線
交于點
，求線段
的長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
為參數且
，
，
，曲線
的參數方程為
為參數），以
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（1）求的普通方程及的直角坐標方程；
（2）若曲線與曲線
分別交于點
，
，求
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖①：在平行四邊形
中,
,
,將
沿對角線
折起,使
,連結
,得到如圖②所示三棱錐
.
（1）證明：
平面
；
（2）若
,二面角
的平面角的正切值為
,求直線與平面所成角的正弦值.
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