Question

已知等比數列{a_n}中，a₂=2，a₅=16，等差數列{b_n}中，b₁=a₅，b₈=a₂．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項；
（Ⅱ）求數列{

bn

an

}前n項和S_n，并求S_n的最大值．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）直接由題意求得數列{a_n}，{b_n}的公比和公差，則通項公式可求；
（Ⅱ）利用錯位相減法求得數列{

bn

an

}前n項和S_n，然后利用函數的單調性可得S_n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）等比數列{a_n}中，∵a₂=2，a₅=16，
∴q³=

a5

a2

=

16

2

=8，則q=2．
∴an=a2qn-2=2×2n-2=2n-1．
等差數列{b_n}中，b₁=a₅=16，b₈=a₂=2，
∴d=

b8-b1

8-1

=

2-16

7

=-2，
b_n=16-2（n-1）=18-2n；
（Ⅱ）

bn

an

=

-2n+18

2n-1

，
S_n=

16

20

+

14

21

+…+

-2n+18

2n-1

   ①，

Sn

2

=

16

21

+

14

22

+…+

-2n+18

2n

   ②，
①-②得：

Sn

2

=16-2(

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

-2n+18

2n

=16-2×

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

-2n+18

2n

=14+

1

2n-2

+

n

2n-1

-

18

2n

．
∴S_n=28+

2

2n-2

+

2n

2n-1

-

36

2n

=28+

n-7

2n-2

．
∴當n=8或9時，S_n有最大值為28+

1

26

．

點評：本題考查了等差數列和等比數列的通項公式，考查了錯位相減法求數列的和，訓練了數列不等式的解法，是中檔題．