Question

三次函數f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象如圖所示，直線BD∥AC，且直線BD與函數圖象切于點B，交于點D，直線AC與函數圖象切于點C，交于點A．
（1）在x=1處取得極值-2，試用c表示a和b，并求f（x）的單調區間；
（2）設點A、B、C、D的橫坐標分別為x_A，x_B，x_C，x_D，求證：（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）=3x²+2ax+b，由題知f′（1）=0，f（1）=-2代入即可求出a和b；然后令導函數=0求出駐點，分區間討論出函數的增減性區間；
（2）設出直線BD的解析式因為D為交點，把D點坐標代入得到x_D+2x_B+a=0，同理有x_A+2x_C+a=0，有x_A+2x_C+a=0，由于AC平行于BD，因此f′（x_B）=f′（x_C），得到xB+xC=-

2a

3

，分別求出得比值為1：2：1即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b，
依題意有

3+2a+b=0 a+b+c=-3

?

a-c=0 b=-2c-3

從而f′（x）=3x²+2cx-（2c+3）=0=（3x+（2c+3））（x-1），
令f′（x）=0有x=1或x=-

2c+3

3

由于f（x）在x=1處取得極值，
因此-

2c+3

3

≠1，得到c≠-31若-

2c+3

3

＞1，
即c＜-3，則當x∈（-∞，1）或x∈(-

2c+3

3

，+∞)時，f′（x）＞0，
當x∈(1，-

2c+3

3

)時，f′（x）＜0，
因此f（x）的單調遞增區間為（-∞，1）和(-

2c+3

3

，+∞)，單調遞減區間為(1，-

2c+3

3

)；
若-

2c+3

3

＜1，即c＞-3，
則當x∈(-∞，-

2c+3

3

)或x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
當x∈(-

2c+3

3

，1)時，f′（x）＜0，
因此f（x）的單調遞增區間為(-∞，-

2c+3

3

)和（1，+∞），單調遞減區間為(-

2c+3

3

，1)．
（2）設直線BD的方程為y=f′（x_B）（x-x_B）+f（x_B）因為D點在直線上又在曲線上，
所以f（x_D）=f′（x_B）（x_D-x_B）+f（x_B）
即（x_D³+ax_D²+bx_D+c）-（x_B³+ax_B²+bx_B+c）=（3x_B²+2ax_B+b）（x_D-x_B）
得到：x_D²+x_Dx_B-2x_B²+ax_D-ax_B=0從而x_D+2x_B+a=0，
同理有x_A+2x_C+a=0，由于AC平行于BD，
因此f′（x_B）=f′（x_C），
得到xB+xC=-

2a

3

進一步化簡可以得到xA+xD=xB+xC=-

2a

3

，
從而x_A-x_B=x_C-x_D
又（x_A-x_B）+（x_C-x_D）=（x_B-x_C），
因此（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1

點評：考查學生利用導數研究函數極值，研究函數單調性的能力，函數與方程的靈活運用能力．