Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設f′（x）是函數y=f（x）的導數，f″（x）是函數f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x，則稱（x，f（x））為函數y=f（x）的“拐點”．某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．給定函數，請你根據上面探究結果，解答以下問題
（1）函數f（x）=x³-x²+3x-的對稱中心為    ；
（2）計算+…+f（）=    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函數f（x）=x³-x²+3x-的對稱中心．
（2）由f（x）=x³-x²+3x-的對稱中心為（，1），知f（x）+f（1-x）=2，由此能夠求出+…+f（）．
解答：解：（1）∵f（x）=x³-x²+3x-，
∴f′（x）=x²-x+3，f''（x）=2x-1，
令f''（x）=2x-1=0，得x=，
∵f（）=+3×=1，
∴f（x）=x³-x²+3x-的對稱中心為（，1），
（2）∵f（x）=x³-x²+3x-的對稱中心為（，1），
∴f（x）+f（1-x）=2，
∴+…+f（）=2×1006=2012．
故答案為：（，1），2012．
點評：本小題主要考查函數與導數等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查化簡計算能力，求函數的值以及函數的對稱性的應用，屬于難題．