【題目】設
，動圓C經過點
，且被y軸截得的弦長為2p，記動圓圓心C的軌跡為E．
Ⅰ
求軌跡E的方程；
Ⅱ求證：在軌跡E上存在點A，B，使得
為坐標原點是以A為直角頂點的等腰直角三角形．
【答案】
Ⅰ
，
． Ⅱ詳見解析。
【解析】
（I）通過被
軸截得弦長和經過點
，構造出圓心
滿足的方程，整理可得軌跡方程；（II）通過假設
點坐標以及
，可求得直線
的方程，將方程與軌跡
聯立，可表示出
點坐標；從而可表示出
，再通過構造出函數
，通過零點存在定理說明
存在零點，從而得到
存在，從而證得結論。
（I）設動圓圓心
，半徑為r，
圓C過點
，
，
圓C被y軸截得的弦長為2p，
，
由
，得
，化簡，得，
，
軌跡E的方程為，．
（II）證明：設
，
，則OA的斜率
，
，
的斜率
，
直線AB的方程為
，
聯立直線AB與拋物線E的方程，得：
，解得
，
，
，
記
，
，
，，則
，
，
記
，，
由題意
，記
，，
，
，
根據零點存在定理，存在
，使得
，從而
，
當
滿足
時，有
，
此時
是以A為直角頂點的等腰直角三角形，
在軌跡E上存在點A，B，使得
為坐標原點是以A為直角頂點的等腰直角三角形
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
是橢圓
上任一點，點
到直線
的距離為
，到點
的距離為
，且
.直線
與橢圓
交于不同兩點
（
都在
軸上方），且
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）當
為橢圓與
軸正半軸的交點時，求直線
方程；
（3）對于動直線
，是否存在一個定點，無論
如何變化，直線
總經過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某理科考生參加自主招生面試，從7道題中（4道理科題3道文科題）不放回地依次任取3道作答.
（1）求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；
（2）規定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題，該考生答對理科題的概率均為
，答對文科題的概率均為
，若每題答對得10分，否則得零分.現該生已抽到三道題（兩理一文），求其所得總分
的分布列與數學期望
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，離心率
，點
在橢圓上．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）設點
是橢圓
上一點，左頂點為
，上頂點為
，直線
與
軸交于點
，直線
與
軸交于點
，求證： 
為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】 已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝
，n＝
，且m與n的夾角為
.
(1)求角C；
(2)已知c＝
，S△ABC＝
，求a＋b的值．
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