Question

【題目】已知橢圓，離心率，點在橢圓上．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設點是橢圓上一點，左頂點為，上頂點為，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據橢圓離心率，點在橢圓上，結合性質 ， ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓的標準方程；（2）設， ， ，則，由三點共線，可得， ，則，結合，消去可得為定值.

試題解析：（1）依題意得，設，則，

由點在橢圓上，有，解得，則，

橢圓C的方程為： .

(2)設， ， ，則，由APM三點共線，則有，即，解得，則，

由BPN三點共線，有，即，解得，

則

=

又點P在橢圓上，滿足，有，

代入上式得

=，

可知為定值.