Question

20.下表給出一個“等差數陣”：

4	7	（　）	（　）	（　）	…	a1j	…
7	12	（　）	（　）	（　）	…	a2j	…
（　）	（　）	（　）	（　）	（　）	…	a3j	…
（　）	（　）	（　）	（　）	（　）	…	a4j	…
…	…	…	…	…	…	…	…
ai1	ai2	ai3	ai4	ai5	…	aij	…
…	…	…	…	…	…	…	…

其中每行、每列都是等差數列，a_ij表示位于第 i 行第 j 列的數.

（Ⅰ）寫出a₄₅的值；

（Ⅱ）寫出a_ij的計算公式;

（Ⅲ）證明:正整數N在該等差數陣中的充要條件是2N＋1可以分解成兩個不是1的正整數之積.

Answer 1

20.本小題主要考查等差數列,充要條件等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力,滿分14分.

解：（Ⅰ）a₄₅=49.

　 （Ⅱ）該等差數陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數列：

　　　　　a_1j=4+3（j－1）；

　　　　　第二行是首項為7，公差為5的等差數列：

　　　　　a_2j=7+5（j－1）；

　　　　　……

　　　　　第i行是首項為4+3（i－1），公差為2i+1的等差數列，因此，

　　　　　a_ij=4+3（i－1）+（2i+1）（j－1）

            =2ij+i+j

　　　　　　=i(2j+1)+j

     （Ⅲ）必要性：若N在該等差數陣中，則存在正整數i,j使得

　　　　　N=i（2j+1）+j，

　　　　　從而　2N+1=2i（2j+1）+2j+1

                     =（2i+1）（2j+1）.

　　　　　即正整數2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積.

　　　　　充分性：若2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積，由于2N+1是奇數，則它必為兩個不是1的奇數之積，即存在正整數k,l,使得

　　　　　2N+1=（2k+1）（2l+1），

　　　　　從而N=k（2l+1）+l=a_kl，

　　　　　可見N在該等差數陣中.

　　　　　綜上所述，正整數N在該等差數陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數之積.