Question

奇函數f（x）滿足：①f（x）在（0，+∞）內單調遞增；②f（1）=0；則不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0的解集為

{x|-1＜x＜0，或0＜x＜1}

．

Answer 1

分析：根據函數f（x）的奇偶性、單調性作出函數f（x）的草圖，不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0?

f(x)

x

＜0，借助圖象即可解得．

解答：解：因為f（x）為奇函數，所以不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0
?

f(x)

x

＜0?

f(x)＞0 x＜0

或

f(x)＜0 x＞0

，
根據函數f（x）為奇函數及在（0，+∞）內單調遞增，可知函數f（x）在（-∞，0）內單調遞增，
作出f（x）的草圖，如圖所示：

由圖象得，

f(x)＞0 x＜0

或

f(x)＜0 x＞0

?

-1＜x＜0 x＜0

或

0＜x＜1 x＞0

，
解得-1＜x＜0或0＜x＜1．
所以不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0的解集為{x|-1＜x＜0，或0＜x＜1}．
故答案為：{x|-1＜x＜0，或0＜x＜1}．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性以及抽象不等式的求解，抽象不等式一般利用單調性求解．