Question

α-l-β是直二面角，直線a與α所成角為30°，則a與β所成角（ ）
A．60°
B．小于60°
C．取值范圍為[0°，90°]
D．取值范圍為[0°，60°]

Answer 1

【答案】分析：設線段AB夾在直二面角α-l-β內，A∈α，B∈β，如果AB與平面α、β所成的角分別為α和β，過A在α內做AC垂直于l于C點，過B在β內做BD垂直于l于D點． 在β內做BE平行l，在β內做CE平行BD，交點為E，連接AE，AD，BC，根據AD＞AC判斷∠ABC＜∠ABD，由于∠ABD+∠DAB=90°進而知α+β＜90°，當AB與l垂直時α+β=90° 當AB與l平行時α+β=0，最后綜合答案可得α+β的范圍為0≤α+β≤90°；再結合直線a與α所成角為30°即可得到答案．
解答：解：設線段AB夾在直二面角α-l-β內，A∈α，B∈β，

如果AB與平面α、β所成的角分別為α和β，
過A在α內做AC垂直于l于C點，過B在β內做BD垂直于l于D點．
在β內做BE平行l，在β內做CE平行BD，交點為E，連接AE，AD，BC
則∠DAB=α，∠ABC=β，sin∠ABC=ACAB，sin∠DAB=ADAB
因為AD＞AC，所以∠ABC＜∠ABD，
∠ABD+∠DAB=90°，所以α+β＜90°
當AB與l垂直時α+β=90°
當AB與l平行時α+β=0
∴0≤α+β≤90°；
又因為直線a與α所成角為30°；
所以：a與β所成角的范圍是：[0，，60°]
故選：D．
點評：本題主要考查了空間中直線與平面的位置關系．解題的關鍵是判斷出當直線與兩面角的棱平行或垂直時的情況．