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9.已知函數f(x)=$\frac{x^2}{2lnkx}$(k≠0)的圖象在x=$\sqrt{e}$處的切線垂直于y軸.
(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間和極值;
(Ⅱ)設函數g(x)=-$\frac{x^2}{2}+alnx+a\;({a>0})$,若對于?x1,x2∈(1,+∞),總有f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出函數f(x)的導數,解關于導函數的方程,求出函數的單調區間和極值即可;
(Ⅱ)求出函數f(x)的最小值,通過討論a的范圍,判斷g(x)的單調性,從而確定a的范圍即可.

解答 解:(Ⅰ)∵f(x)的定義域是(0,1)∪(1,+∞),
∴$f'(x)=\frac{{2xlnkx-{x^2}•\frac{1}{x}}}{{2{{ln}^2}kx}}=\frac{{x({2lnkx-1})}}{{2{{ln}^2}kx}}$.
由已知$f'({\sqrt{e}})=0$得k=1,
∴$f(x)=\frac{x^2}{2lnx}$
從而f'(x)、f(x)隨x的變化如下表

x(0,1)$({1\;,\;\sqrt{e}})$$\sqrt{e}$$({\sqrt{e}\;,\;+∞})$
f'(x)--0+
f(x)極小
∴f(x)的減區間是(0,1),$({1\;,\;\sqrt{e}})$;f(x)的增區間是$({\sqrt{e}\;,\;+∞})$;$f{(x)_{極小}}=f({\sqrt{e}})=e$,無極大值.
(Ⅱ)由題設,只須g(x)在(1,+∞)上的最大值不大于f(x)的最小值即可.
由(Ⅰ)知,當x>1時,$f(x)_{min}^{\;}=e$.
當x≥1時,..,
(1)若a≤1,則g'(x)≤0,此時,g(x)在(1,+∞)上單調遞減,
∴$g(x)≤g(1)=-\frac{1}{2}+a<e$滿足題設.
(2)若a>1,則g'(x)=0,得$x=\sqrt{a}$,
當$1<x<\sqrt{a}$時,g'(x)>0;當$x>\sqrt{a}$時,g'(x)<0,
∴$g{(x)_{max}}=g({\sqrt{a}})=-\frac{a}{2}+aln\sqrt{a}=\frac{1}{2}({a+alna})$,
故只須$\frac{1}{2}({a+alna})≤e$.
記$h(x)=\frac{1}{2}({x+xlnx})$(x>1),則$h'(x)=1+\frac{1}{2}lnx>0$,
∴h(x)在(1,+∞)上單調遞增,且$h(e)=\frac{1}{2}({e+elne})=e$,
從而,當且僅當a≤e時,有$\frac{1}{2}({a+alna})≤e$.
綜上,0<a≤e即為所求.

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題,考查導數的應用以及分類討論思想,是一道中檔題.

練習冊系列答案
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井號I123456
坐標(x,y)(km)(2,30)(4,40)(5,60)(6,50)(8,70)(1,y)
鉆探深度(km)2456810
出油量(L)407011090160205
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