Question

【題目】如果函數(shù)在其定義域內存在實數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)為“可拆分函數(shù)”.

（1）試判斷函數(shù)是否為“可拆分函數(shù)”？并說明你的理由；

（2）證明：函數(shù)為“可拆分函數(shù)”；

（3）設函數(shù)為“可拆分函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 不是“可分拆函數(shù)”(2)見解析（3）

【解析】試題分析: （1）按照“可分拆函數(shù)”的概念，只需方程有根即可，據(jù)此判斷；
（2）本問利用零點定理即可判斷，即判斷端點處的函數(shù)值異號即可證明結論；
（3）若函數(shù)在（0，+∞）上為可分拆函數(shù)，只需方程在該區(qū)間上有實根，然后借助于換元的方法，將，然后分離參數(shù)方法，即可求出的取值范圍．

試題解析：

（1）假設是“可分拆函數(shù)”，則存在，使得

即 ，而此方程的判別式 ，方程無實數(shù)解，

所以，不是“可分拆函數(shù)”．

（2）令，

則，

又 故，

所以在上有實數(shù)解，也即存在實數(shù)，使得

成立，

所以 是“可分拆函數(shù)”．

（3）因為函數(shù)為“可分拆函數(shù)”，

所以存在實數(shù)，使得=+，

=且 ，所以 ，

,則 ,所以 ，

由得 ，即的取值范圍是 ．