Question

【題目】

如圖，四棱錐P －ABCD的底面是矩形，側面PAD是正三角形，

且側面PAD⊥底面ABCD，E 為側棱PD的中點。

（1）求證：PB//平面EAC；

（2）求證：AE⊥平面PCD；

（3）當為何值時，PB⊥AC ？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

1）連結BD交AC于O，連結EO,由EO//PB可證PB//平面EA。

（2）由側面PAD⊥底面ABCD，，可證，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD。

（3）設N為AD中點，連接PN，則，可證PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值。

（1）連結BD交AC于O，連結EO,

因為O，E分別為BD.PD的中點, 所以EO//PB,

,所以PB//平面EAC。

（2）

正三角形PAD中，E為PD的中點，所以，，

又，所以，AE⊥平面PCD。

（3）設N為AD中點，連接PN，則。

又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD。

所以，NB為PB在面ABCD上的射影。

要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，設AD＝1，AB＝x,

由,得∽，

解之得：,

所以，當 時，PB⊥AC。