Question

A是△BCD平面外的一點，E、F分別是BC、AD的中點，
（1）求證：直線EF與BD是異面直線；
（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF與BD所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（1）假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，得到A、B、C、D在同一平面內，矛盾．
（2）取CD的中點G，利用三角形中位線的性質找出異面直線成的角∠FEG，把此角放在一個三角形中，
解此三角形，求出此角的大小．
解答：（1）證明：用反證法．設EF與BD不是異面直線，
則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，
所以A、B、C、D在同一平面內，
這與A是△BCD平面外的一點相矛盾．
故直線EF與BD是異面直線．
（2）解：取CD的中點G，連接EG、FG，由于E、F分別是BC、AD的中點，
則EG平行且等于BD，FG平行且等于AC，
所以相交直線EF與EG所成的銳角或直角即為異面直線EF與BD所成的角．
由AC⊥BD，AC=BD，可得EG⊥GF，EG=GF．故等腰Rt△EGF中，有∠FEG=45°，
即異面直線EF與BD所成的角為45°．
點評：本題考查異面直線的證明方法，及求異面直線成的角，屬于中檔題．