Question

某班一信息奧賽同學編了下列運算程序，將數據輸入滿足如下性質：
①輸入1時，輸出結果是；
②輸入整數n（n≥2）時，輸出結果f（n）是將前一結果f（n-1）先乘以3n-5，再除以3n+1．
（1）求f（2），f（3），f（4）；
（2）試由（1）推測f（n）（其中n∈N*）的表達式，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接寫出f（n）與f（n-1）的關系式，然后通過n=2，3，4求出函數值．
（2）由（1）推測f（n）（其中n∈N*）的表達式，利用數學歸納法的證明步驟證明即可．
解答：解：（1）由題設條件知f（1）=，f（n）=f（n-1），
∴；；．…（3分）
（2）猜想：f（n）=（其中n∈N*）…（5分）
以下用數學歸納法證明：
（1）當n=1時，，
所以此時猜想成立．                …（6分）
（2）假設n=k（k∈N*）時，成立
那么n=k+1時，…（9分）
所以n=k+1時，猜想成立．
由（1）（2）知，猜想：f（n）=（其中n∈N*）成立．
…（12分）
點評：本題考查函數與數列的關系，數學歸納法的證明方法，考查計算能力邏輯思維能力．