Question

某班一信息奧賽同學編了下列運算程序，將數據輸入滿足如下性質：
①輸入1時，輸出結果是

1

4

；
②輸入整數n（n≥2）時，輸出結果f（n）是將前一結果f（n-1）先乘以3n-5，再除以3n+1．
（1）求f（2），f（3），f（4）；
（2）試由（1）推測f（n）（其中n∈N*）的表達式，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）直接寫出f（n）與f（n-1）的關系式，然后通過n=2，3，4求出函數值．
（2）由（1）推測f（n）（其中n∈N*）的表達式，利用數學歸納法的證明步驟證明即可．

解答：解：（1）由題設條件知f（1）=

1

4

，f（n）=

3n-5

3n+1

f（n-1），
∴f(2)=

1

7

×

1

4

=

1

28

；f(3)=

1

28

×

4

10

=

1

70

；f(4)=

1

70

×

7

13

=

1

130

．…（3分）
（2）猜想：f（n）=

1

(3n-2)(3n+1)

（其中n∈N*）…（5分）
以下用數學歸納法證明：
（1）當n=1時，f(1)=

1

4

，

1

(3×1-2)(3×1+1)

=

1

4

，
所以此時猜想成立．                …（6分）
（2）假設n=k（k∈N*）時，f(k)=

1

(3k-2)(3k+1)

成立
那么n=k+1時，

f(k+1)= 3(k+1)-5 3(k+1)+1 f(k)= 3(k+1)-5 3(k+1)+1 • 1 (3k-2)(3k+1) = 1 3(k+1)+1 • 1 (3k+1) = 1 [3(k+1)-2][3(k+1)+1]

…（9分）
所以n=k+1時，猜想成立．
由（1）（2）知，猜想：f（n）=

1

(3n-2)(3n+1)

（其中n∈N*）成立．
…（12分）

點評：本題考查函數與數列的關系，數學歸納法的證明方法，考查計算能力邏輯思維能力．