Question

11．微信運動和運動手環的普及，增強了人民運動的積極性，每天一萬步稱為一種健康時尚，某中學在全校范圍內內積極倡導和督促師生開展“每天一萬步”活動，經過幾個月的扎實落地工作后，學校想了解全校師生每天一萬步的情況，學校界定一人一天走路不足4千步為不健康生活方式，不少于16千步為超健康生活方式者，其他為一般生活方式者，學校委托數學組調查，數學組采用分層抽樣的辦法去估計全校師生的情況，結合實際及便于分層抽樣，認定全校教師人數為200人，高一學生人數為700人，高二學生人數600人，高三學生人數500，從中抽取n人作為調查對象，得到了如圖所示的這n人的頻率分布直方圖，這n人中有20人被學校界定為不健康生活方式者．
（1）求這次作為抽樣調查對象的教師人數；
（2）根據頻率分布直方圖估算全校師生每人一天走路步數的中位數（四舍五入精確到整數步）；
（3）校辦公室欲從全校師生中速記抽取3人作為“每天一萬步”活動的慰問對象，計劃學校界定不健康生活方式者鞭策性精神鼓勵0元，超健康生活方式者表彰獎勵20元，一般生活方式者鼓勵性獎勵10元，利用樣本估計總體，將頻率視為概率，求這次校辦公室慰問獎勵金額X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （1）利用頻率分布直方圖的性質與分層抽樣的原理即可得出．
（2）利用頻率分布直方圖的性質與中位數的定義即可得出．
（3）有頻率分布直方圖知不健康生活方式者概率為0.2，超健康生活方式者的概率為0.1，一般生活方式者的概率為0.7，0≤X≤60，X的可能取值為0，10，20，30，40，50，60，利用相互獨立與互斥事件的概率計算公式即可得出．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖知[0，4）的頻率為0.05×4=0.2，于是$\frac{20}{n}=0.2，n=100$，
由分層抽樣的原理知這次作為抽樣調查對象的教師人數為$100×\frac{200}{200+700+600+500}=100×\frac{1}{10}=10$人．
（2）由頻率分布直方圖知[0，4）的頻率為0.2，[4，8）的頻率為0.25，[8，12）的頻率為0.3，
設中位數為x，則0.2+0.25+（x-8）×0.075=0.5，于是$x=\frac{26}{3}$（千步）；
（3）有頻率分布直方圖知不健康生活方式者概率為0.2，超健康生活方式者的概率為0.1，
一般生活方式者的概率為0.7，0≤X≤60，X的可能取值為0，10，20，30，40，50，60，
則$P（X=0）={0.2^3}=0.008，P（X=10）=C_3^1×0.7×{0.2^3}=0.084$，$P（X=20）=C_3^2×{0.7^2}×0.2+C_3^1×0.1×{0.2^2}=0.306$，
$P（X=30）={0.7^3}+A_3^3×0.2×0.7×0.1=0.427$，$P（X=40）=C_3^2×{0.1^2}×0.2+C_3^2×{0.7^2}×0.1=0.153，P（X=50）=C_3^2×{0.1^2}×0.7=0.021$，
P（X=60）=0.1³=0.001．

X	0	10	20	30	40	50	60
P	0.008	0.084	0.306	0.427	0.153	0.021	0.001

E（X）=0×0.008+10×0.084+20×0.306+30×0.427+40×0.153+50×0.021+60×0.001=27（元）
所以這次校辦公室慰問獎勵金額X的數學期望為27元．

點評 本題考查了頻率分布直方圖的性質、中位數的定義、分層抽樣的原理、相互獨立與互斥事件的概率計算公式分布列與數學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．