Question

已知數列的前項和為，且，對任意，都有.

（1）求數列的通項公式；

（2）若數列滿足，求數列的前項和.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）解法1是在的條件下，由得到，將兩式相減得，經化簡得，從而得出數列為等差數列，然后利用等差數列的通項公式求出數列的通項公式；解法2是利用代入遞推式得到，經過化簡得到，在兩邊同時除以得到，從而得到數列為等差數列，先求出數列的通項公式，進而求出的表達式，然后利用與之間的關系求出數列的通項公式；（2）解法1是在（1）的前提下求出數列的通項公式，然后利用錯位相減法求數列的和；解法2是利用導數以及函數和的導數運算法則，將數列的前項和視為函數列的前項和在處的導數值，從而求出.

試題解析：（1）解法1：當時，，，

兩式相減得，

即，得.當時，，即.

數列是以為首項，公差為的等差數列..

解法2：由，得，

整理得，，兩邊同除以得，.

數列是以為首項，公差為的等差數列...

當時，.

又適合上式，數列的通項公式為；

（2）解法1：由（1）得.

，.

，①

，②

①②得.

.

解法2：由（1）得.，.

，①

由，

兩邊對取導數得，.

令，得.

.

考點：1.定義法求通項；2.錯位相減法求和；3.逐項求導