Question

已知O為坐標原點，A（0，2），B（4，6），=t₁+t₂．
（1）求點M在第二或第三象限的充要條件；
（2）求證：當t₁=1時，不論t₂為何實數，A、B、M三點都共線；
（3）若t₁=a²，求當⊥且△ABM的面積為12時，a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件求出點M的坐標，利用點M在第二或第三象限的充要條件為橫坐標小于0，縱坐標不等于0，得到結果．
（2）由條件求出  的坐標，證明  等于一個實數與的乘積，即 ∥，即證明了A、B、M三點共線．
（3）先求出的坐標，用點到直線的距離公式求出點M到直線AB的距離，由三角形面積等于12解出a的值．
解答：解：（1）=t₁+t₂=t₁（0，2）+t₂（4，4）=（4t₂，2t₁+4t₂）．
當點M在第二或第三象限時，等價于，故所求的充要條件為t₂＜0且t₁+2t₂≠0．
（2）證明：當t₁=1時，由（1）知=（4t₂，4t₂+2）．
∵=-=（4，4），=-=（4t₂，4t₂）=t₂（4，4）=t₂，
∴不論t₂為何實數，A、B、M三點共線．
（3）當t₁=a²時，=（4t₂，4t₂+2a²）． 又∵=（4，4），⊥，
∴4t₂×4+（4t₂+2a²）×4=0，∴t₂=-a²，∴=（-a²，a²）．又∵||=4，
點M到直線AB：x-y+2=0的距離d==|a²-1|．
∵S_△ABM=12，∴||•d=×4×|a²-1|=12，解得a=±2，
故所求a的值為±2．
點評：本題考查兩個向量坐標形式的運算法則，證明三點共線的方法，向量的模及點到直線的距離公式的應用，體現了轉化的數學思想，準確進行坐標運算，是解題的難點和關鍵．