Question

已知正三棱錐A－BCD的底邊長為a，E，F分別是AB，BC的中點，且AC⊥DE．

(1)求此正三棱錐的體積V；

(2)求二面角E－FD－B的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由正三棱錐A－BCD知AC⊥BD ∵AC⊥DE，∴AC⊥平面ABD． ∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝ ∴AB＝AC＝AD＝． V＝×AB·AC·AD＝． (2)分別過A、E作平面BCD的垂線，垂足為、，由正三棱錐可知、是正△BCD邊CD上的高的兩個三等分點． 連結，，是△EDF在平面BCD內的射影． ∵EF∥AC，∴EF⊥平面ABD， ∠FED＝，EF＝＝，， ∴． 在中，DF＝， 設二面角E－FD－B大小為θ， 則cosθ＝，sinθ＝． ∴二面角E－FD－B的正弦值為．