Question

已知正三棱錐A-BCD中，底面邊長BC為3，側棱長AB為

6

，求此正三棱錐的體積及內切球的表面積．

Answer 1

分析：設底面正三角形BCD的中心為O，由三角形的知識可得棱錐的高和底面積，代入體積公式可得；設內切球的半徑為R，則由等體積的方法可求半徑，由球的表面積公式可得．

解答：解：設底面正三角形BCD的中心為O，可得OB=

2

3

×3×

3

2

=

3

，
故AO=

AC2-OC2

=

AB2-OB2

=

3

，
而正三角形BCD的面積S=

1

2

×3×3×

3

2

=

9 3

4

，
故此正三棱錐的體積V=

1

3

S×AO=

1

3

×

9 3

4

×

3

=

9

4

；
設內切球的半徑為R，則由等體積的方法可得：

1

3

R（S_△ABC+S_△ACD+S_△ABD）=

1

3

R×3S△ABC=

9

4

，
代入數據可得：R•

1

2

×3×

( 6 )2-( 3 2 )2

=

9

4

，解之可得R=

15

5

，
故內切球的表面積S′=4πR²=

12π

5

點評：本題考查三棱錐的體積的求解，涉及內切球的半徑的求解，等體積法是求解半徑的關鍵，屬中檔題．