Question

設p≠0，實系數一元二次方程z²-2pz+q=0有兩個虛數根z₁，z₂、再設z₁，z₂在復平面內的對應點是Z₁，Z₂，求以Z₁，Z₂為焦點且經過原點的橢圓的長軸的長．

Answer 1

分析：由題意兩個虛數根z₁，z₂是共軛復數，可得橢圓的短軸長：2b=|z₁+z₂|=2|p|，焦距為2c=|z₁-z₂|，然后求出長軸長．

解答：解：因為p，q為實數，p≠0，z₁，z₂為虛數，
所以（-2p）²-4q＜0，q＞p²＞0
由z₁，z₂為共軛復數，知Z₁，Z₂關于x軸對稱，
所以橢圓短軸在x軸上，又由橢圓經過原點，
可知原點為橢圓短軸的一端點
根據橢圓的性質，復數加，減法幾何意義及一元二次方程根與系數的關系，
可得橢圓的短軸長=2b=|z₁+z₂|=2|p|，
焦距離=2c=|z₁-z₂|=

|(z1+z2)2-4z1z2|

=2

q-p2

，
長軸長=2a=2

b2+c2

=2

q

.

點評：本題考查復數的基本概念，橢圓的基本性質，是小型綜合題，考查學生分析問題解決問題的能力．