Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1+coswx，1），$\overrightarrow{b}$=（1，a+$\sqrt{3}$sinwx） （w為常數(shù)且w＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$在R上的最大值為3，且函數(shù)y=f（x）的任意兩相鄰的對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）在給定的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=f（x）在[0，π]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）由已知及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得：f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+a+1，利用最大值為3，可得a，利用周期公式可求ω，即可得解函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)五點(diǎn)法，求出對應(yīng)的五點(diǎn)，即可得到結(jié)論．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（1+cosωx，1），$\overrightarrow{b}$=（1，a+$\sqrt{3}$sinωx） （w為常數(shù)且w＞0），
∴由已知可得：f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1+cosωx+a+$\sqrt{3}$sinωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+a+1，
∵函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+a+1在R上的最大值為3，可得：2+a+1=3，
∴解得：a=0，
∵函數(shù)y=f（x）的任意兩相鄰的對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴函數(shù)y=f（x）的周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}×2$，解得：ω=2，
∴函數(shù)的解析式為：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
（2）f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
列表：

x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	π
2x+$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{13π}{6}$
2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1	2	3	1	-1	1	2

描點(diǎn)得圖象：

點(diǎn)評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，考查了計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．