Question

已知函數f（x）=-x³+3x²+9x+a（a為常數），在區間[-2，2]上有最大值20，那么此函數在區間[-2，2]上的最小值為

-7

．

Answer 1

分析：先將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值，再根據條件求出a的值，最小值即可求得．

解答：解：∵f（x）=-x³+3x²+9x+a（a為常數）
∴f′（x）=-3x²+6x+9
令f′（x）=-3x²+6x+9=0，解得x=-1或3（舍去）
當-2＜x＜-1時，f'（x）＜0，
當-1＜x＜2時，f'（x）＞0
∴當x=-1時取最小值，而f（2）=22+a＞f（-2）=2+a
即最大值為22+a=20，∴a=-2，最小值為f（-1）=-5-2=-7
故答案為：-7．

點評：本題主要考查了利用導數求閉區間上函數的最值，是高考中常考的知識點，解題的關鍵是利用導數工具，確定函數的最值，屬于中檔題．