Question

【題目】定義在R上的函數f（x）滿足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，則不等式exf（x）＞ex+3（其中e為自然對數的底數）的解集為（　　）
A.（0，+∞）
B.（﹣∞，0）∪（3，+∞）
C.（﹣∞，0）∪（0，+∞）
D.（3，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】設g（x）=exf（x）﹣ex ， （x∈R），
則g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調遞增，
∵exf（x）＞ex+3，
∴g（x）＞3，
又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0
故選：A．
構造函數g（x）=exf（x）﹣ex ， （x∈R），研究g（x）的單調性，結合原函數的性質和函數值，即可求解。