Question

(2006黃岡)如下圖，正方形的邊長為4，D是的中點，E是上的點，將△及△分別沿DC和EC折起，使、重合于A，且二面角A－DC－E為直二面角．

(1)求證：CD⊥DE；

(2)求AE與面DEC所成角的正弦值；

(3)求點D到平面AEC的距離．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)∵、重合于A， ∴AC⊥AD，AC⊥AE， 故AC⊥面ADE，∴AC⊥DE． ∵A—DC—E為直二面角， ∴過A作AF⊥CD于F，則AF⊥面CDE， 故CD為AC在面CDE上的射影，由三垂線定理的逆定理有CD⊥DE． (2)∵AF⊥面CDE，∴∠AEF為AE與面DEC所成的角， 在Rt△CAD中，AD=2，AC=4， ∴，， 又∵CD⊥DE，∴在正方形中，．故 BE=1，∴． 又∵DE⊥CD，DE⊥AC，∴DE⊥面ACD，則DE⊥AD． ∴在Rt△ADE中，AE=3， 故在Rt△AFE中，， ∴AE與面DEC所成角的正弦值為． (3)設D到面AEC的距離為d，則由有 ，∴． 故，即點D到平面AEC的距離為．