Question

方程f（x）=x的根稱為f（x）的不動點，若函數f（x）=

x

a(x+2)

有唯一不動點，且x₁=1000，x_n+1=

1

f(  1 xn )

（n∈N^*），則x₂₀₁₁=

 

．

Answer 1

分析：先根據

x

a(x+2)

=x轉化為二次方程，再由函數f（x）=

x

a(x+2)

有唯一不動點可求出a的值，然后代入確定函數f（x）的解析式，進而可得到x_n+1、x_n的關系，再由等差數列的通項公式可得到最后答案．

解答：解：由

x

a(x+2)

=x得ax²+（2a-1）x=0．
因為f（x）有唯一不動點，
所以2a-1=0，即a=

1

2

．
所以f（x）=

2x

x+2

．所以x_n+1=

1

f(  1 xn )

=

2xn+1

2

=x_n+

1

2

．
所以x₂₀₁₁=x₁+

1

2

×2010=1000+

2010

2

=2005．
故答案為：2005

點評：本題主要考查函數不動點的知識、考查數列的函數性質以及等差數列的通項公式的表示法．