Question

如圖，正三棱柱的所有棱長都相等，D為的中點.

（1）       求證：平面

（2）       求直線BD與平面所成的角

Answer 1

解：解法一：

（1）取BC中點O，連結AO．

∵△ABC為正三角形，  ∴AO⊥BC  

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中。平面ABC⊥平面BCC_lB₁。，平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC

∴AO⊥平面BC C₁B₁  

連結B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O、D分別為BC、CC₁的中點

∴B_lO⊥BD   

 ∴AB_l⊥BD  

 在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，

  ∴AB₁⊥平面A₁BD

（Ⅱ）設正三棱錐的棱長為2，在RtA₁DC₁中，A₁C₁=2,C₁D=1

  ∴ A₁D=   同理B₁D=BD=  

  作DE⊥A₁B₁，則E為A₁B₁的中點，DE=2

  ∴

  由（I）AO⊥平面BCC₁B₁，且AO= 

∴A₁到面BB₁D的距離為，設點B到面A₁B₁D的距離為h,

  由得

∴

  設BD與平面A₁B₁D所成的角為0，

  則

  因此，BD與平面A₁B₁D所成的角為

解法二：

（Ⅰ）取BC中點O，連結AO．∵ △ABC為正三角形。∴OA⊥BC．

              ∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BC₁C₁B_l，

∴ AO⊥平面BCC₁B₁．

  取B₁C₁中點O₁，以O為原點，,,的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，

    設正三棱錐的棱長為2，則B（1，0，0），D（一1，1，0），A．（0，2，），A（0，0，），B．（1，2，0），

∴=（1，2，一），=（-2，1，0），=（一1，2，），

∵?=-2+2+0 =0， ?=-1+4 -3=0，

∴⊥, ⊥,∴AB₁⊥平面A₁BD．

（Ⅱ）=（1，1，），=（1，0，）．設平面A₁B₁D的法向量n=（x₁,y_1,z₁）．

則得

n=（，，1）為平面A₁B₁D的一個法向量．

∵ ∴

    因此，BD與平面A₁B₁D所成的角為。