Question

（本小題滿分12分）

如圖，正三棱柱的所有棱長都為

，為中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求點到平面的距離．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）平面

（Ⅱ）二面角的大小為

（Ⅲ）點到平面的距離為

【解析】解法一：（Ⅰ）取中點，連結(jié)．

為正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．

連結(jié)，在正方形中，分別為

的中點，

，

．

在正方形中，，

平面．

（Ⅱ）設(shè)與交于點，在平面中，作于，連結(jié)，由（Ⅰ）得平面．

，

為二面角的平面角．

在中，由等面積法可求得，

又，

．

所以二面角的大小為．

（Ⅲ）中，，．

在正三棱柱中，到平面的距離為．

設(shè)點到平面的距離為．

由得，

．

點到平面的距離為．

解法二：（Ⅰ）取中點，連結(jié)．

為正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，

平面．

取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

，，．

，，

，．

平面．

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為．

，．

，，

令得為平面的一個法向量．

由（Ⅰ）知平面，

為平面的法向量．

，．

二面角的大小為．

（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量，

    ．

    點到平面的距離