Question

定義在R上的函數f（x）既是偶函數又是周期函數，若f（x）滿足f（x+

π

2

）=-f（x），且當x∈[0 ， 

π

2

]時，f（x）=sinx，則f(

5π

3

)的值為（　　）

• A．-

  1

  2

• B．

  1

  2

• C．-

  3

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：由條件判斷函數f（x）的周期為π，再根據已知條件以及（x）是偶函數，可得 f（

5π

3

）=f（-

π

3

）=f（

π

3

）=sin

π

3

，從而求得結果．

解答：解：由于f（x）滿足f（x+

π

2

）=-f（x），
∴f（x+π）=f（x），故函數f（x）的周期為π．
再根據當x∈[0 ， 

π

2

]時，f（x）=sinx，以及f（x）是偶函數，
可得 f（

5π

3

）=f（-

π

3

）=f（

π

3

）=sin

π

3

=

3

2

，
故選D．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性的應用，屬于中檔題．