Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-x2+ax-5在區(qū)間[-1，2]上單調遞減，則實數a的取值范圍為（　　）

• A、（-∞，+∞）
• B、[1，+∞）
• C、（-3，1）
• D、（-∞，-3]

Answer 1

分析：求出函數的單調區(qū)間，由于函數在[-1，2]上單調遞減，故此區(qū)間是其定義上單調區(qū)間的子集，故比較區(qū)間的端點即可得到參數的取值范圍，選出正確答案．

解答：解：函數的導數為f'（x）=x²-2x+a，判斷知△=4-4a＞0．得a＜1
相應方程的根為x=

2± 4-4a

2

令f′（x）=x²-2x+a＜0，解得

2- 4-4a?

2

＜x＜

2+ 4-4a?

2

，即函數在(

2- 4-4a?

2

，

2+ 4-4a?

2

)上是減函數，
又函數在區(qū)間[-1，2]上單調遞減，
∴

2- 4-4a?

2

≤-1且

2+ 4-4a?

2

≥2，解得a≤-3
綜上得實數a的取值范圍為（-∞，-3]
故選D

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，求解本題的關鍵是利用導數求出函數的單調遞減區(qū)間以及根據題設條件作出正確判斷得出參數所滿足的不等式，解出參數的取值范圍，根據題設轉化出不等式是本題的易錯點，要注意等價轉化．