Question

設函數ht(x)=3tx-2t

3

2

，若有且僅有一個正實數x₀，使得h₇（x₀）≥h_t（x₀）對任意的正數t都成立，則x₀=（　　）

• A．5
• B．

  5

• C．3
• D．

  7

Answer 1

分析：構造函數g（t）=3tx0-2t

3

2

，則g′（t）=3x0-3t

1

2

，分析可得g（

x

2 0

）即為函數g（t）=3tx0-2t

3

2

的最大值，則可將已知化為

x

2 0

=7．

解答：解：令g（t）=3tx0-2t

3

2

-（21x0-2

73

），則g′（t）=3x0-3t

1

2

令g′（t）=0，則t=

x

2 0

，由此得t＜

x

2 0

，g′（t）＞0，t＞

x

2 0

，g′（t）＜0，
可得g（

x

2 0

）即為函數g（t）=3tx0-2t

3

2

的最大值，
若有且僅有一個正實數x₀，使得h₇（x₀）≥h_t（x₀）對任意的正數t都成立，
則g（7）為函數g（t）的最大值，且7是函數g（t）的唯一最大值
∴

x

2 0

=7
又∵x₀為正實數，
故x₀=

7

故選D

點評：本題考查的知識點是函數恒成立問題，其中構造以t為自變量的新函數，并分析函數的單調性，進而將已知轉化為

x

2 0

=7是解答的關鍵．