Question

設(shè)函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+2ax，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，有f（x）在x∈[1，4]上的最小值為-

16

3

，則f（x）在該區(qū)間上的最大小值是

10

3

．

Answer 1

分析：由f′（x）=-x²+x+2a=-（x-

1

2

）²+2a+

1

4

，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）在[1，4]上先增后減，由f（x）在x∈[1，4]上的最小值為-

16

3

，知f（x）在[1，4]上的最小值=min{f（1），f（4）}=min{2a-

1

6

，8a-

40

3

}=8a-

40

3

=-

16

3

，故a=1．由此能求出f（x）在該區(qū)間上的最大值．

解答：解：f′（x）=-x²+x+2a=-（x-

1

2

）²+2a+

1

4

，
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）在[1，4]上先增后減
∵f（x）在x∈[1，4]上的最小值為-

16

3

，
∴f（x）在[1，4]上的最小值=min{f（1），f（4）}
=min{2a-

1

6

，8a-

40

3

}=8a-

40

3

=-

16

3

，
∴a=1
∴f（x）在該區(qū)間上的最大值=f（2）=

10

3

．
故答案為：

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．