Question

設函數ht(x)=3tx-2t

3

2

，若有且僅有一個正實數x₀，使得h₄（x₀）≥h_t（x₀）對任意的正實數t成立，則x₀=

 

．

Answer 1

分析：有且僅有一個正實數x₀，使得h₄（x₀）≥h_t（x₀）對任意的正實數t成立?有且僅有一個正實數x₀，使得g（t）_min≥0．利用導數即可取得g（t）的最小值，解出即可．

解答：解：由h₄（x₀）≥h_t（x₀）化為12x0-16≥3tx0-2t

3

2

，即2t

3

2

-3tx0+12x0-16≥0．
令g（t）=2t

3

2

-3tx0+12x0-16．
有且僅有一個正實數x₀，使得h₄（x₀）≥h_t（x₀）對任意的正實數t成立?有且僅有一個正實數x₀，使得g（t）_min≥0．
由g′(t)=3

t

-3x0=3(

t

-x0)，令g^′（t）=0，解得t=

x

2 0

．
由g^′（t）＞0，解得t＞

x

2 0

；由g^′（t）＜0，解得0＜t＜

x

2 0

．
∴g（t）在(0，

x

2 0

)上單調遞減；在(

x

2 0

，+∞)上單調遞增．
因此g（t）在t=

x

2 0

取得極小值，也即最小值．
∴g(t)min=g(

x

2 0

)=-

x

3 0

+12x0-16．
由-

x

3 0

+12x0-16≥0，化為(x0-2)2(x0+4)≤0，
∵x₀＞0，∴當且僅當x₀=2時上式成立．
故答案為2．

點評：把問題正確轉化和掌握利用導數研究函數的單調性是解題的關鍵．