Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓x²+y²=1上．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若斜率為k的直線過點M（2，0），且與橢圓C相交于A，B兩點．試探討k為何值時，三角形OAB為直角三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知b和c，利用隱含條件求出a，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設出直線AB的方程，聯立直線方程和橢圓方程，由判別式大于0求出k的范圍，利用根與系數關系得到A與B的橫坐標的和與積，討論O與A（或B）為直角頂點兩種情況，O為直角頂點時，直接由

OA

•

OB

=0列式求解k的值，若A（或B）為直角頂點時，由斜率之積等于-1求出OA的斜率，由兩直線聯立解出A點（或B）點坐標，代入橢圓方程求得k的值．

解答：解：（Ⅰ）因為焦點與短軸的端點都在圓x²+y²=1上，
∴c=1，b=1，
∴a²=b²+c²=1+1=2．
則橢圓方程為：

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由已知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=k（x-2）．
聯立

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
由△=64k⁴-4（1+k²）（8k²-2）＞0，得k2＜

1

2

．
所以k∈(-

2

2

，

2

2

)．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x1+x2=

8k2

1+k2

，x1x2=

8k2-2

1+k2

．
若O為直角頂點，則

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0．
y₁y₂=k（x₁-2）k（x₂-2）．
所以上式可整理得：

8k2-2

1+2k2

+

4k2

1+2k2

=0．
解得k=±

5

5

．滿足k∈(-

2

2

，

2

2

)．
若A或B為直角頂點，不妨設A為直角頂點，
kOA=-

1

k

，則A滿足

y=- 1 k x y=k(x-2)

，解得

x= 2k2 k2+1 y=- 2k k2+1

代入橢圓方程得k⁴+2k²-1=0．
解得k=±

2 -1

．滿足k∈(-

2

2

，

2

2

)．
綜上，k=±

5

5

或k=±

2 -1

時三角形OAB為直角三角形．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，考查了分類討論的數學思想方法哈數學轉化思想方法，訓練了平面向量在解題中的應用，考查了學生的計算能力，是難題．