Question

已知

a

=（

3

sinωx，1），

b

=（cosωx，0）ω＞0，又函數f（x）=

b

•（

a

-k

b

）是以

π

2

為最小正周期的周期函數．
（1）求函數f（x）的值域；
（2）若函數f（x）的最大值為

1

2

，則是否存在實數t，使得函數f（x）的圖象能由函數g（x）=t

a

•

b

的圖象經過平移得到？若能，求出實數t，并說明如何平移，若不能，說明理由．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）首先利用向量的數量積運算得到f（x） 解析式，然后變形，利用其周期得到ω的值，從而得到值域；
（2）首先得到g（x）的解析式，然后觀察與f（x）的關系，分析是否存在t．

解答： 解：（1）

a

=（

3

sinωx，1），

b

=（cosωx，0）ω＞0，又函數f（x）=

b

•（

a

-k

b

）=

3

cosωxsinωx-kcos²ωx=

3

2

sin2ωx-

k

2

cos2ωx-

k

2

．
又函數是以

π

2

為最小正周期的周期函數，所以ω=2，
所以f（x）=

3

2

sin4x-

k

2

cos4x-

k

2

，
所以f（x）的值域為[-

3+k2 +k

2

，

3+k2 -k

2

]；
（2）若函數f（x）的最大值為

1

2

，即

3+k2 -k

2

=

1

2

，解得k=1，所以f（x）=sin（4x-

π

6

）-

1

2

，
g（x）=t

a

•

b

=

3

tsinωxcosωx=

3

2

tsin4x，
所以當t=

2 3

3

時，g（x）=sin4x，只要將g（x）向右平移

π

24

個單位，然后再向下平移

1

2

個單位即可得到f（x）圖象．

點評：本題考查了向量的數量積運算以及三角函數圖象的平移變換；解答過程中注意細心．