Question

8．已知${（x+\frac{1}{ax}）^6}$展開式的常數(shù)項是160，則由曲線y=x²和y=x^a圍成的封閉圖形的面積為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 首先通過二項展開式求出a，然后利用定積分表示封閉圖形的面積．

解答 解：因為${（x+\frac{1}{ax}）^6}$展開式的常數(shù)項是160，所以${C}_{6}^{3}•\frac{1}{{a}^{3}}$=160，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以由曲線y=x²和y=x^a圍成的封閉圖形的面積為S=${∫}_{0}^{1}（{x}^{\frac{1}{2}}-{x}^{2}）dx$=$（\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}{x}^{3}）{|}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$，
故答案為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了二項式定理以及利用定積分求封閉圖形的面積；關鍵是正確求出a，利用定積分求表示面積．