Question

命題p：f（x）=x²+2ax+4，對一切x∈Rf（x）＞0恒成立．q：函數(shù)f（x）=（3-2a）^x是增函數(shù)，若p或q為真，p且q為假，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：求出對一切x∈R，f（x）＞0恒成立的實數(shù)a的取值集合，可以得到命題p為真命題的實數(shù)a的取值集合，進一步得到使命題p為假命題的實數(shù)a的取值集合；求出使函數(shù)f（x）=（3-2a）^x是增函數(shù)的實數(shù)a的取值集合，可以得到命題q為真命題的取值集合，進一步得到命題q為假命題的取值集合，然后然后根據(jù)復(fù)合命題的真假，借助于交集運算進行求解．

解答：解：因為f（x）=x²+2ax+4，要使對一切x∈R，f（x）＞0恒成立，
即x²+2ax+4＞0對一切x∈R恒成立，
則△=（2a）²-4×1×4=4a²-16＜0恒成立，解得：-2＜a＜2．
所以，命題p為真命題的實數(shù)a的取值范圍是（-2，2）．
則命題p為假命題的實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）．
要使函數(shù)f（x）=（3-2a）^x是增函數(shù)，
則3-2a＞1，即a＜1．
所以，命題q為真命題的a的取值范圍是（-∞，1）．
則命題q為假命題的a的取值范圍是[1，+∞）．
若p或q為真，p且q為假，
則p真q假或p假q真．
由p真q假，如圖，

得a的取值范圍是[1，2）．
由p假q真，如圖，

得a的取值范圍是（-∞，-2]．
所以，使p或q為真，p且q為假的實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]∪[1，2）．

點評：本題考查了復(fù)合命題的真假判斷，考查了不等式恒成立問題，訓練了補集思想的應(yīng)用，此題屬中檔題．