Question

一個同心圓形花壇分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n(n≥3，n∈N)等份，種植紅、黃、藍(lán)三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．

(1)如圖①，圓環(huán)分成的3等份為a₁，a₂，a₃，有多少種不同的種植方法？如圖②，圓環(huán)分成的4等份為a₁，a₂，a₃，a₄，有多少種不同的種植方法？

(2)如圖③，圓環(huán)分成的n等份為a₁，a₂，a₃，…，a_n，有多少種不同的種植方法？

Answer 1

答案：
解析：

(1)如圖①，先對a1部分種植，有3種不同的種法，再對a2，a3部分種植，因為a2，a3與a1不同顏色，a2，a3也不同顏色，所以S(3)＝3×2＝6(種)．如圖②，S(4)＝3×2×2×2－S(3)＝18(種)． 　　(2)如圖③，圓環(huán)分為n等份，對a1有3種不同的種法，對a2，a3，…，an都有兩種不同的種法，但這樣的種法只能保證a1與ai(i＝2，3，…，n－1)不同顏色，不能保證a1與an不同顏色．于是一類是an與a1不同色的種法，這是符合要求的種法，記為S(n)(n≥3)種．另一類是an與a1同色的種法，這時可以把a(bǔ)n與a1看成一部分，這樣的種法相當(dāng)于對n－1部分符合要求的種法，記為S(n－1)，共有3×2n－1種種法．這樣就有S(n)＋S(n－1)＝3×2n－1，即S(n)－2n＝－[S(n－1)－2n－1]，則數(shù)列{S(n)－2n}(n≥3)是首項為S(3)－23，公比為－1的等比數(shù)列．則S(n)2n＝[S(3)－23](－1)n－3(n≥3)．由(1)知，S(3)＝6，所以S(n)－2n＝(6－8)(－1)n－3．所以S(n)＝2n－2·(－1)n－3．所以符合要求的不同種法有2n－2·(－1)n－3(n≥3)種．

提示：

第(2)問得出數(shù)列的遞推關(guān)系是解題的關(guān)鍵．