Question

（2010•廣州模擬）在△ABC中，角A，B，C成等差數列．
（1）求角B的大小；
（2）若sin(A+B)=

2

2

，求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）由角A，B，C成等差數列，利用等差數列的性質列出關系式，再根據三角形是的內角和定理化簡，即可求出B的度數；
（2）法1：根據三角形的內角和定理及誘導公式得到sin（A+B）=sinC，可得出sinC的度數，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出C的度數，由B和C的度數求出A的度數，即可確定出A的度數，可得出sinA的值；
法2：由A和B為三角形的內角，根據sin（A+B）的值，利用特殊角的三角函數值求出A+B的度數，根據B的度數求出A的度數，可得出sinA的值；
法3：把B的度數代入已知的等式中，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡得出關于sinA和cosA的關系式，再根據同角三角函數間的基本關系得到sin²A+cos²A=1，兩者聯立可求出sinA的值．

解答：解：（1）在△ABC中，A+B+C=π，
由角A，B，C成等差數列，得2B=A+C．
解得B=

π

3

；
（2）方法1：由sin(A+B)=

2

2

，即sin(π-C)=

2

2

，得sinC=

2

2

，
所以C=

π

4

或C=

3π

4

，
由（1）知B=

π

3

，所以C=

π

4

，即A=

5π

12

，
所以sinA=sin

5π

12

=sin(

π

4

+

π

6

)=sin

π

4

cos

π

6

+cos

π

4

sin

π

6

=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

=

2 + 6

4

；
方法2：因為A，B是△ABC的內角，且sin(A+B)=

2

2

，
所以A+B=

π

4

或A+B=

3π

4

．
由（1）知B=

π

3

，
所以A+B=

3π

4

，即A=

5π

12

，
所以sinA=sin

5π

12

=sin(

π

4

+

π

6

)=sin

π

4

cos

π

6

+cos

π

4

sin

π

6

=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

=

2 + 6

4

；
方法3：由（1）知B=

π

3

，所以sin(A+

π

3

)=

2

2

，
即sinAcos

π

3

+cosAsin

π

3

=

2

2

，即

1

2

sinA+

3

2

cosA=

2

2

，

3

cosA=

2

-sinA，
3cos2A=2-2

2

sinA+sin2A，
又cos²A=1-sin²A，
所以3(1-sin2A)=2-2

2

sinA+sin2A．
即4sin2A-2

2

sinA-1=0，
解得：sinA=

2 ± 6

4

，
因為角A是△ABC的內角，所以sinA＞0，
故sinA=

2 + 6

4

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，等差數列的性質，同角三角函數間的基本關系，三角形的內角和定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．