Question

（2012•淮北二模）已知C為線段AB上一點，P為直線AB外一點，I為PC上一點，滿足|

PA

|-|

PB

|=4，|

PA

-

PB

|=10，

PA • PC

| PA |

=

PB • PC

| PB |

，且

BI

=

BA

+λ（

AC

| AC |

+

AP

| AP |

），（λ＞0），則

BI • BA

| BA|

的值為（　　）

A．2

B．4

C．3

D．5

Answer 1

分析：根據

PA • PC

| PA |

=

PB • PC

| PB |

表示|

PC

|cos∠APC=|

PC

||cos∠CPB，即∠APC=∠CPB，且

BI

=

BA

+λ（

AC

| AC |

+

AP

| AP |

），（λ＞0），表示I在∠BAP的角平分線上，
即I是三角形ABP的內心，余下的問題就比較簡單．

解答：解：由|

PA

-

PB

|=10，可得|AB|=10．
由

PA • PC

|P • A |

=

PB • PC

|P • B |

，可得|

PC

|cos∠APC=|

PC

||cos∠CPB，即∠APC=∠CPB，即PC為∠APB的角平分線．
由于I為PC上一點，

BI

=

BA

+λ（

AC

| AC |

+

AP

| AP |

），（λ＞0），表示點I在∠CAP的角平分線上，即I是三角形ABP的內心．
而要求的式子 

BI • BA

|B • A|

 表示的是

BI

在

AB

上的投影長度．
過I做IK垂直于AB于K，則由圓的切線性質和題意可得|AK|-|BK|=4，|AK|+|BK|=10，解得|BK|=3即所求，
故選C．

點評：本題考查向量在幾何中的應用，本題解題的關鍵是正確理解條件中所給的幾個關系式，注意把條件轉化成我們所熟悉的條件，本題是一個比較好的題目，屬于中檔題．