Question

（2012•淮北二模）在△ABC中a，b，c分別為角A，B，C所對的邊的邊長．
（1）試敘述正弦或余弦定理并證明之；
（2）設a+b+c=1，求證：a²+b²+c²≥

1

3

．

Answer 1

分析：（1）寫出正弦定理，作出三角形ABC的外接圓，設外接圓半徑為R，利用圓周角定理及銳角三角函數定義即可證明；
（2）由a，b及c都大于0，利用基本不等式得到a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，三等式左邊兩邊相加后得到一個不等式，不等式左右兩邊都加上a²+b²+c²，右邊利用完全平方公式化簡，變形后即可得證．

解答：解：（1）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C，
正弦定理為：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
證明：作出△ABC的外接圓O，連接BO并延長，與圓O交于D點，連接CD，

可得∠A=∠D，∠BCD=90°，設圓的半徑為R，BC=a，AB=c，AC=b，
在Rt△BCD中，設BD=2R，
∴sinD=sinA=

BC

BD

=

a

2R

，即

a

sinA

=2R，
同理

b

sinB

=2R，

c

sinC

=2R，
則

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R；
（2）∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，
∴2（a²+b²+c²）≥2ab+2bc+2ca，又a+b+c=1，
∴3（a²+b²+c²）≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）²=1，
則a²+b²+c²≥

1

3

．

點評：此題考查了正弦定理及證明，以及基本不等式的運用，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．