Question

正四面體ABCD的體積為V，P是正四面體ABCD的內(nèi)部的一個點．
(1)設(shè)“V_PABC≥V”的事件為X，求概率P(X)；
(2)設(shè)“V_PABC≥V”且“V_PBCD≥V”的事件為Y，求概率P(Y)．

Answer 1

（1）（2）

首先確定點P的區(qū)域，即區(qū)域D；然后確定所求的事件中的點所在區(qū)域d；分別計算區(qū)域D和d的體積；最后計算所求概率為.
（1)如圖，分別取DA、DB、DC上的點E、F、G，

并使DE＝3EA，DF＝3FB，DG＝3GC，并連結(jié)EF、FG、GE，
則平面EFG∥平面ABC.
當(dāng)P在正四面體DEFG內(nèi)部運(yùn)動
時，滿足V_PABC≥V，故P(X)＝.
(2)在AB上取點H，使AH＝3HB，在AC上取點I，
使AI＝3IC，在AD上取點J，使AJ＝3JD，
則P在正四面體AHIJ內(nèi)部運(yùn)動時，滿足V_PBCD≥V.
設(shè)JH交EF于M，JI交EG于N，則面MIN∥面BCD.
結(jié)合(1)，當(dāng)P在正四面體DFEG的內(nèi)部及正四面體AHIJ的內(nèi)部運(yùn)動，也即P在正四面體EMNJ內(nèi)部運(yùn)動時，同時滿足V_PABC≥V且V_PBCD≥V，于是P(Y)＝.