Question

【題目】已知數列{an}，{bn}滿足bn=an+1﹣an（n=1，2，3，…）．
（1）若bn=10﹣n，求a16﹣a5的值；
（2）若 且a1=1，則數列{a2n+1}中第幾項最小？請說明理由；
（3）若cn=an+2an+1（n=1，2，3，…），求證：“數列{an}為等差數列”的充分必要條件是“數列{cn}為等差數列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）”．

Answer 1

【答案】
（1）由bn=10﹣n，可得bn+1﹣bn=（9﹣n）﹣（10﹣n）=﹣1，故{bn}是等差數列．

所以a16﹣a5=（a16﹣a15）+（a15﹣a14）+（a14﹣a13）+…+（a6﹣a5）=

（2）a2n+3﹣a2n+1=（a2n+3﹣a2n+2）+（a2n+2﹣a2n+1）=b2n+2+b2n+1=（22n+2+231﹣2n）﹣（22n+1+232﹣2n）=22n+1﹣231﹣2n

由a2n+3＜a2n+122n+1﹣231﹣2n＜0n＜7.5，a2n+3＞a2n+122n+1﹣231﹣2n＞0n＞7.5，

故有a3＞a5＞a7＞…＞a15＞a17＜a19＜a20＜…，

所以數列{a2n+1}中a17最小，即第8項最小．

法二：由 ，可知a2n+1=a1+b1+b2+b3+…+b2n= = （當且僅當22n+1=233﹣2n，即n=8時取等號）

所以數列{a2n+1}中的第8項最小

（3）若數列{an}為等差數列，設其公差為d，

則cn+1﹣cn=（an+1﹣an）+2（an+2﹣an+1）=d+2d=3d為常數，

所以數列{cn}為等差數列．

由bn=an+1﹣an=d（n=1，2，3，…），可知bn≤bn+1（n=1，2，3，…）．

若數列{cn}為等差數列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…），設{cn}的公差為D，

則cn+1﹣cn=（an+1﹣an）+2（an+2﹣an+1）=bn+2bn+1=D（n=1，2，3，…），

又bn+1+2bn+2=D，故（bn+1﹣bn）+2（bn+2﹣bn+1）=D﹣D=0，

又bn+1﹣bn≥0，bn+2﹣bn+1≥0，故bn+1﹣bn=bn+2﹣bn+1=0（n=1，2，3，…），所以bn+1=bn（n=1，2，3，…），故有bn=b1，所以an+1﹣an=b1為常數．

故數列{an}為等差數列．

綜上可得，“數列{an}為等差數列”的充分必要條件是“數列{cn}為等差數列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）”

【解析】（1）判斷{bn}是等差數列．然后化簡a16﹣a5=（a16﹣a15）+（a15﹣a14）+（a14﹣a13）+…+（a6﹣a5）利用等差數列的性質求和即可．（2）利用a2n+3﹣a2n+1=22n+1﹣231﹣2n ， 判斷a2n+3＜a2n+1 ， 求出n＜7.5，a2n+3＞a2n+1求出n＞7.5，帶帶數列{a2n+1}中a17最小，即第8項最小． 法二：化簡
，
求出a2n+1=a1+b1+b2+b3+…+b2n= ，利用基本不等式求出最小值得到數列{a2n+1}中的第8項最小．（3）若數列{an}為等差數列，設其公差為d，說明數列{cn}為等差數列． 由bn=an+1﹣an=d（n=1，2，3，…），推出bn≤bn+1 ， 若數列{cn}為等差數列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…），設{cn}的公差為D，轉化推出bn+1=bn（n=1，2，3，…），說明數列{an}為等差數列．得到結果．
【考點精析】掌握數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．