Question

【題目】已知橢圓 上的動點P與其頂點 ， 不重合． （Ⅰ）求證：直線PA與PB的斜率乘積為定值；
（Ⅱ）設點M，N在橢圓C上，O為坐標原點，當OM∥PA，ON∥PB時，求△OMN的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：設P（x0 ， y0），則 ． 所以直線PA與PB的斜率乘積為 ．…（4分）
（Ⅱ）依題直線OM，ON的斜率乘積為- ．
① 當直線MN的斜率不存在時，直線OM，ON的斜率為 ，設直線OM的方程
是 ，由 得 ，y=±1．
取 ，則 ．所以△OMN的面積為 ．
②當直線MN的斜率存在時，設直線MN的方程是y=kx+m，
由 得（3k2+2）x2+6kmx+3m2﹣6=0．
因為M，N在橢圓C上，
所以△=36k2m2﹣4（3k2+2）（3m2﹣6）＞0，解得3k2﹣m2+2＞0．
設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），則 ， ． = ．
設點O到直線MN的距離為d，則 ．
所以△OMN的面積為 …①．
因為OM∥PA，ON∥PB，直線OM，ON的斜率乘積為- ，所以 ．
所以 = ．
由 ，得3k2+2=2m2…②
由①②，得 ．
綜上所述，
【解析】（Ⅰ）設點設P（x0 ， y0），從而可得直線PA與PB的斜率乘積為 （Ⅱ）設方程為y=kx+m，由兩點M，N滿足OM∥PA，ON∥PB及（Ⅰ）得直線OM，ON的斜率乘積為﹣ ，可得到m、k的關系，再用弦長公式及距離公式，求出△OMN的底、高，表示：△OMN的面積即可．