Question

定義平面向量之間的兩種運算“⊙”、“•”如下：對任意的

a

=(m，n)，

b

=(p，q)，令

a

⊙

b

=mq-np，

a

•

b

=mp+nq．下面說法錯誤的是（　　）

• A．若

  a

  與

  b

  共線，則

  a

  ⊙

  b

  =0
• B．

  a

  ⊙

  b

  =

  b

  ⊙

  a

• C．對任意的λ∈R，有（λ

  a

  ）⊙

  b

  =λ（

  a

  ⊙

  b

  ）
• D．（

  a

  ⊙

  b

  ）+（

  a

  ?

  b

  ）²=|

  a

  |2|

  b

  |2

Answer 1

分析：根據(jù)題意對選項逐一分析．若

a

與

b

共線，則mq=np=0，即

a

⊙

b

=0，故A正確；
因為

b

⊙

a

=pn-qm，與令

a

⊙

b

=mq-np，對照選項B錯誤，
由于λ為實數(shù)，有（λ

a

）⊙

b

=λmq-λnp，λ（

a

⊙

b

）=λmq-λnp，故C正確．
由于（

a

⊙

b

）+（

a

•

b

）²=（mq-np）²+（mp+nq）²=（m²+n²）（p²+q²）=|

a

|2|

b

|2，故D正確．

解答：解：若

a

與

b

共線，則mq=np=0，即

a

⊙

b

=0，故A正確；
以定義得出因為

b

⊙

a

=pn-qm，與令

a

⊙

b

=mq-np，對照選項B錯誤
由于λ為實數(shù)，有（λ

a

）⊙

b

=λmq-λnp，λ（

a

⊙

b

）=λmq-λnp，故C正確．
由于（

a

⊙

b

）+（

a

•

b

）²=（mq-np）²+（mp+nq）²=（m²+n²）（p²+q²）=|

a

|2|

b

|2，故D正確．
故選B．

點評：本題主要考查兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量坐標(biāo)形式的運算，運算“⊙”的定義，屬于中檔題．在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，屬創(chuàng)新題型，考查平面向量的基礎(chǔ)知識以及分析問題、解決問題的能力