Question

設函數，且f（1）=1，f（2）=log₂12
（1）求a，b的值；
（2）當x∈[1，2]時，求f（x）的最大值；
（3）p為何值時，函數與x軸無交點．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數，且f（1）=1，f（2）=log₂12，知，由此能求出a，b的值．
（2）由f（x）=log₂（4^x-2^x）=log₂2^x+log₂（2^x-1）在[1，2]是增函數，能夠求出f（x）的最大值．
（3）由函數g（x）=與x軸無交點，知滿足，由此能求出p的取值范圍．
解答：解：（1）∵函數，
且f（1）=1，f（2）=log₂12，
∴，
解得a=4，b=2．
（2）∵f（x）=log₂（4^x-2^x）
=log₂2^x+log₂（2^x-1）在[1，2]是增函數，
∴f（x）_max=f（2）=log₂12．
（3）∵函數g（x）=與x軸無交點，
∴滿足，
∴，
由①得p＞-4^x+2^x=-（2^x-）²+有解，
∴p＞[-（2^x-）²+]_min，
∵-（2^x-）²+→-∞，∴p∈R．③
由②得p=-4^x+2^x+1=-（2^x-）²+無實數解，
而-（2^x-）²+≤，
∴p，④，
綜合③④知P＞．
點評：本題考查滿足條件的實數的求法，考查函數的最大值的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．