Question

若橢圓

x2

m

+

y2

2

=1(m＞2)與雙曲線

x2

n

-

y2

2

=1(n＞0)有相同的焦點F₁，F₂，P是橢圓與雙曲線的一個交點，則△F₁PF₂的面積是（　　）

• A．4
• B．2
• C．1
• D．

  1

  2

Answer 1

分析：由題設中的條件，設兩個圓錐曲線的焦距為2c，橢圓的長軸長2

m

，雙曲線的實軸長為2

n

，由它們有相同的焦點，得到m-n=4．不妨設m=5，n=1，根據雙曲線和橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2

5

，|PF₁|-|PF₂|=2，△PF₁F₂ 中，由三邊的關系得出其為直角三角形，由△PF₁F₂的面積公式即可運算得到結果．

解答：解：由題意設兩個圓錐曲線的焦距為2c，
橢圓的長軸長2

m

，雙曲線的實軸長為2

n

，
由它們有相同的焦點，得到m-n=4．
不妨設m=5，n=1，
橢圓的長軸長2

5

，雙曲線的實軸長為2，
不妨令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2，①
由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2

5

，②
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=12，
∴PF₁•PF₂=4，
又|F₁F₂|=2

3

，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
則△F₁PF₂的形狀是直角三角形
△PF₁F₂的面積為

1

2

•PF₁•PF₂=

1

2

×4=2．
故選B．

點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點三角形三邊長，解決本題的關鍵是根據所得出的條件靈活變形，求出焦點三角形的邊長來．