Question

【題目】已知以為焦點的橢圓過點.

（1）求橢圓方程.

（2）設橢圓的左頂點為，線段的垂直平分線交橢圓于兩點，求的面積.

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

（1）設出橢圓方程，由焦點坐標、橢圓上的一點坐標，列方程求解即可；

（2）先求出點M、N的坐標，根據三角形面積公式即可求得.

（1）設橢圓方程為：，

因為其焦點為，則

； ①

又因為橢圓過點，則點P的坐標滿足橢圓方程：

②

結合： ③，

由①②③可解得：

，故橢圓方程為：.

（2）由題意，作圖如下：

由（1）可知，橢圓的左頂點坐標為，又，

故線段的垂直平分線的方程為：，

即，

又因為M、N均為垂直平分線與橢圓的交點，故當時，

求得：，解得，

綜上所述：點M坐標為，點N坐標為

由此解得： ①

又點P的坐標為，則點P到直線MN的距離

②

故.